1.
FILSAFAT
Kata falsafah atau filsafat dalam bahasa Indonesia merupakan kata serapan dari bahasa Arab فلسفة, yang juga diambil dari bahasa Yunani; Φιλοσοφία philosophia.Dalam
bahasa ini, kata ini merupakan kata majemuk dan berasal dari kata-kata (philia=
persahabatan, cinta dsb.) dan (sophia =
"kebijaksanaan").Sehingga arti harafiahnya adalah seorang “pencinta
kebijaksanaan”. Kata filosofi yang dipungut dari bahasa Belanda juga dikenal
di Indonesia.Bentuk terakhir ini lebih mirip dengan aslinya. Dalam bahasa
Indonesiaseseorang yang mendalami bidang falsafah disebut "filsuf".
Jadi, filsafat adalah pandanganhidup seseorang atau sekelompok orang yang
merupakan konsep dasar mcngenaikehidupan yang dicita-citakan. Filsafat juga
diartikan sebagai suatu sikapseseorang yang sadar dan dewasa dalam memikirkan segala
sesuatu secara mendalamdan ingin melihat dari segi yang luas dan menyeluruh
dengan segala hubungan.
Salah satu tujuan dari filsafatadalah menemukan pemahaman dan tindakan yang
sesuai. filsafat erat kaitannyadengan ilmu. karena bagaimana pun, tujuan
dipelajari ilmu adalah untuk dapatdipahami kemudian direalisasikan ke dalam
kehidupan yang nyata. tanpapemahaman, ilmu tidak akan mungkin dapat dikuasai.
1. Filsafat Matematika
Filsafat matematika adalahsegenap pemikiran reflektif terhadap persoalan-persoalan
mengenai segala halyang menyangkut landasan matematika serta hubungan
matematika dengan segalasegi dari kehidupan manusia. Landasan itu mencakup
berbagai konsep pamgkal,anggapan dasar, asa permulaan, struktur teoritis, dan
ukuran kebenaran.
Sampai sekarang para filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan
apasesungguhnya matematika itu. Banyak definisi matematika telah
dikemukakan,namun banyak pula sanggahannya.
Filsafat matematika adalahcabang dari filsafat yang mengkaji
anggapan-anggapanfilsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematikaadalah
untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untukmemahami
kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Sifat logis danterstruktur
dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unikdi antara
mitra-mitra bahasan filsafat lainnya.
Tema-tema yang sering diperbincangkan di antaranya:
- Apakah
sumber pokok bahasan matematika?
- Apakah
status ontologis dari entitas-entitas matematika?
- Apakah
yang dimaksud dengan objek matematika?
- Apakah
sifat/karakter dari proposisi matematika?
- Apakah
kaitan antara logika dan matematika?
- Apakah
peran hermeneutika di dalam matematika?
- Jenis
penyelidikan apakah yang memainkan peran penting di dalam matematika?
- Apakah
tujuan dari penyelidikan matematika?
- Apakah
yang memberi pertautan antara matematika dan pengalaman?
- Sifat manusia apakah
yang berada di sebalik matematika?
- Apakah
yang dimaksud dengan keindahan matematika?
- Apakah
sumber dan sifat kebenaran matematika?
- Apakah
hubungan antara dunia matematika abstrak dan semesta materi?
- Apakah matematika suatu
bahasa yang mutlak dan universal?
Filsafatmatematika
mempunyai tujuan untuk menjelaskan dan menjawab tentang kedudukandan dasar dari
obyek dan metode matematika yaitu menjelaskan apakah secaraontologism obyek
matematika itu ada, dan menjelaskan secara epistemologisapakah semua pernyataan
matematika mempunyai tujuan dan menentukan suatukebenaran. Mengingat bahwa
hukum-hukum alam dan hukum-hukum matematikamempunyai kesamaan status, maka
obyek-obyek pada dunia nyata mungkin dapatmenjadi pondasi matematika. Tetapi
ini masih menjadi pertanyaan besar untukdijawab.
Walaupun beberapa pemikir pada filsafat moderndari matematika menolak
bagi keberadaan pondasi di dalam matematika, namunbebarapa filsuf masih tetap
menaruh perhatian kepada kegiatan kognisi manusiasebagai basis bagi
diletakkannya fondamen matematika. Mereka mencoba meletakkandasar matematika
pada kegiatan kognisi manusia, seperti yang dilakukan ImmanuelKant, bukan pada
obyek di luar matematika.
Filsuf matematikayang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles,
Leibniz, danKant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak
berbeda dapatmemiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet,
listrik – sebagaigetaran – dapat memiliki persamaan diferensial yang sama).
Aristotelesmenekankan, menemukan ‘dunia permanen’ merupakan realita daripada
‘apa yangtampak’. Aristoteles lebih menekankan pada ‘absraksi’ daripada ‘apa
yangtampak’. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi matematis.
2. Sejarah Matematika
Matematika adalahalat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan
(dalam pemerintahan,industri, sains). Sejarah matematika adalah
penyelidikan terhadap asalmula penemuan di dalam matematika dansedikit perluasannya, penyelidikan
terhadap metode dan notasi matematika dimasa silam. Dalam perjalanan
sejarahnya, matematika berperan membangunperadaban manusia sepanjang masa.
Metode yangdigunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran
deduktif.Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat
kasus-kasus yangkhusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat
kebenaran barangkalibenar atau tidak perlu benar.
Sebelum zaman modern danpenyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia,
contoh-contoh tertulis daripengembangan matematika telah mengalami kemilau
hanya di beberapa tempat.Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah
Plimpton322 (matematikaBabilonia sekitar 1900
SM), Lembaran
Matematika Rhind (MatematikaMesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran
Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890
SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umumdikenal
sebagai teorema
Pythagoras,yang tampaknya
menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luassetelah
aritmetika dasar dan geometri.
Sumbangan matematikawanYunani memurnikan
metode-metode (khususnya melalui pengenalanpenalaran deduktif dan kekakuan matematikadi dalam pembuktian matematika) dan perluasan
pokok bahasan matematika. Kata"matematika" itu sendiri diturunkan
dari kata Yunani kuno, μάθημα(mathema), yang berarti "mata
pelajaran". MatematikaCina membuat
sumbangan dini, termasuk notasiposisional. Sistem
bilangan Hindu-Arab dan aturanpenggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin
dikembangakan melaluikuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah
diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada
gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuanmatematika ke peradaban
ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentangmatematika kemudian
diterjemahkan ke dalam bahasa
Latin, yang mengarah
padapengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.
Dari zaman kuno melalui ZamanPertengahan, ledakan kreativitas matematika
seringkali diikuti oleh abad-abadkemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16,
pengembanganmatematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat
pada pertumbuhan
eksponensial yang
berlanjut hingga kini.
A. Secara Geografis
1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
-
Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi
berbentukbaji
2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras
3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
- Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang
isinyamerupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah
persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasidan
segitiga pascal
6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system
biner,aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan
yaitupersamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
B. Berdasarkan Tokoh
1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau
proposisi,dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh
Euclid. Landasan matematika sebagai ilmuterapan rupanya sudah diletakan oleh
Thales sebelum muncul Pythagoras yangmembuat bilangan.
2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan
aksioma-aksioma,postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam
mengembangkangeometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema
Pythagoras namundia berhasil membuat pembuktian matematis. 2 sebagai bilangan
irrasional.ÖPersaudaraanPythagoras menemukan
3. Socrates (427-347 SM)
Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta
ajaranserba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir
karenapergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama
yangmenerima paham adanya alam bukan benda.
4. Ecluides (325-265 SM)
Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan
dangeometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema
Pythagoras,persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori
proporsi danlain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan
jangka.
5. Archimedes (287-212 SM)
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga
menemukanperhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli
matematikaterbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes
membahasgeometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari
parabola danspiral.
6. Appolonius (262-190 SM)
Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan
bagiastronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam
geometri.Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.
7. Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan
konsep-konsepaljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di
Iskandaria.Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama
tentangsystem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus
berisipemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan
tingkatpertama.
4. Hubungan antara Filsafat dan Sejarah Matematika
Matematika dan filsafat memilikihubungan yang cukup erat, dibandingkan ilmu2
lainnya. alasannya, filsafatmerupakan pangkal untuk mempelajari ilmu dan
matematika adalah ibu dari segalailmu. ada juga yang beranggapan bahwa filsafat
dan matematika adalah ibu darisegala ilmu yang ada. hubungan lainnya dari
matematika dan filsafat karenakedua hal ini adalah apriori dan tidak
eksperimentalis. hasil dari keduanyatidak memerlukan bukti secara fisik.
Di Indonesia sendiri pengamalanfilsafat dalam ilmu, khususnya matematika, masih
sangat amat jarang, bahkantidak ada. terlebih lagi setelah menjamurnya pusat
bimbingan belajar yangmengajarkan rumus2 praktis tanpa menyodorkan dasar
pemahaman yang cukupmemadai. akhirnya ilmu hanya dipandang sebagai sesuatu yang
pragmatis.
Matematika danfilsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain
sejak jaman YunaniKuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi
bagi para filsuf,metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran
filsafat. Kitabahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai
sorang filsuf,misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer,
Hilbert,G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan
kajiansekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh
paramatematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai
perananhingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf
kemudianmempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada
pemikiranfilsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran
logikamisalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh
paramatematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan
analisisbahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh
matematikamaupun filsafat misalnya persoalan pondasi matematika.
Baik matematikawanmaupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah
apakah adapondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal atau
jamak?Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak
makabagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau
tidaklebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir
BertrandRussell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud
untukmenggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat
telahmendapatkan bahwa di sini terdapat paradoks atau inkonsistensi yang
kemudianmembangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat
darisistem matematika.
Dengan
teoriketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan bahwa suatu sistem
matematikajika dia lengkap maka pastilah tidak akan konsisten; tetapi jika dia
konsistenmaka dia patilah tidak akan lengkap. Hakekat dari kebenaran secara
bersamadipelajari secara intensif baik oleh filsafat maupun matematika. Kajian
nilaikebenaran secara intensif dipelajari oleh bidang epistemologi dan
filsafatbahasa.
Paramatematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di
dalamperdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan
pemahamanilmu pada umumnya.
Banyak filsuftelah menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan
penalaranyang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti matematika dianggap
telah dapatmenghasilkan suatu pencapaian yang memuaskan. Matematika telah
menjadi sumberinspirasi yang utama bagi para filsuf untuk mengembangkan
epistemologi danmetafisik.
Hannes Leitgeb di(Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) di
“Mathematical Methods inPhilosophy” telah menyelidiki penggunaan matematika di
filsafat. Diamenyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai kedudukan penting
di filsafat.Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai
persoalan-persoalanbersama.
Hannes Leitgeb telah menyelidikiaspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat
mempunyai derajat yang samaketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara
obyek, sifat-sifat obyek,logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum
sebab-akibat, paradoks, teoripermainan dan teori kemungkinan. Para
filsufmenggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari
konsepatau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran
ungkapan-ungkapannya.Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “ Mathematical
Logic and thePhilosophy of God and Man” mendemonstrasikan filsafat menggunakan
metodematematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat beberapa makhluk
hidupbersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup disebut bersifat
eternal.
5. Periode Matematika
Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atauperiode perkembangan. Yang pertama,
pembagian waktu ke dalam tiga periode,yakni, “dahulu”, “pertengahan”, dan
“sekarang”. Pembagian ini berdasarkanpertumbuhan matematika sendiri dan daya
tahan hidup sesuai zamannya. Yangkedua, pembagian menurut cara konvensional
dalam tujuh skala waktu menurutpenemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1)
Babilonia dan Mesir Kuno, (2)Kejayaan Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat
Timur dekat (sebagian sebelumdan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa
Renaissance, (5) Abad ke-17,(6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20.
Pembagian ini mengikuti perkembangankebudayaan Eropa.
Setiap periode, baik yang membagimenjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang
umum. Pada periode “dahulu”, cirikhasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman
(indera) hidup manusia.Periode “pertengahan” mulai dengan analisis (Descartes,
Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan padaperiode “sekarang” ciri khasnya adalah
metode abstraksi dan generalisasi.Ternyata perkembangan matematika dilihat dari
kualitas dan kekuatannya jauhlebih penting daripada dilihat secara kuantitas.
Ingatlah akan definisimatematika yang mengatakan “matematika adalah cara
berpikir dan bernalar”,lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah
geometri Euclid dibandingdengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu
menyelesaikan masalah lebihrumit (geometri non-euclid digunakan dalam
mengembangkan teori relativitasdalam ilmu fisika)
Perkembangan Matematika SesudahRenaissance
Masing-masing dari 7 periodeterdapat peningkatan kematangan yang signifikan,
namun juga terdapatketerbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih
bersifat empiris. Padaabad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya
geometri analitik,proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi
diperlukan agarpertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan
dalam ilmu lainnya.Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan
menyingkirkan geometrieuclid (lama).
Dalam periode terakhir, daerahjelajah matematika makin luas. Beberapa cabang
menjadi terlepas dari induknyadan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap
dalam wadah yang lebih besar,misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri.
Pelarian dan penangkapankembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum
kembali seluruhmatematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai
melalui logikamatematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan
terlepas.
Matematika danfilsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain
sejak jaman YunaniKuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi
bagi para filsuf,metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran
filsafat. Kitabahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai
sorang filsuf,misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer,
Hilbert,G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan
kajian sekaliguspondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh para
matematikawanmaupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai peranan
hingga sampai erafilsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian
mempelajari logika.Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran
filsuf, kemudianpara filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika
misalnya “logikamodal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan
dan bermanfaatbagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa. Salah
satu titikkrusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun filsafat
misalnyapersoalan pondasi matematika.